ABSTRACT This paper presents a new computational method for solving Abel integral equation (both first kind and second kind). The numerical scheme is based on approximations in Daubechies wavelet basis. The properties of Daubechies scale functions are employed to reduce an integral equation to the solution of a system of algebraic equations. The error analysis associated with the method is given. The method is illustrated with some examples and the present method works nicely for low resolution.

RESUMEN Este artículo presenta un nuevo método computacional para resolver la ecuación integral de Abel (tanto de primer como de segundo tipo). El esquema numérico está basado en aproximaciones en la base de ondeletas de Daubechies. Se emplean las propiedades de las funciones de escala de Daubechies para reducir una ecuación integral a la solución de un sistema algebraico de ecuaciones. Se entrega el análisis de error asociado con el método. El método es ilustrado con algunos ejemplos donde el método presentado funciona bien en baja resolución.

Resumo Fertilizantes de vidro nos sistemas de fosfato foram fundidos a 900-950 °C por 1 h. Foi realizado estudo de lixiviação desses vidros com um período máximo de 300 h, em condição de destilação Soxhlet com água destilada. A perda de massa e as taxas de lixiviação das amostras de fertilizantes de vidro foram calculadas a partir de medições da área superficial de BET, que foram na faixa de 6,3.10-3 a 2,3.10-3 g.m-2.h-1 a 90 °C. O efeito de diferentes íons modificadores, como Na+, Fe3+, Mg2+, Ca2+ e K+, nas redes de fosfato na fusão e no tempo de fusão foi evidente. A determinação do pH variando de 4,80 a 7,50 da solução de lixiviado à temperatura ambiente, em diferentes intervalos de tempo, mostrou variações interessantes e regulares. O estudo de lixiviação desses vidros na condição de Soxhlet mostrou que Ca2+, Mg2+ e K+ são bons candidatos como modificadores para uma lixiviação mais rápida. Os resultados foram corroborados em termos de tamanho iônico, raio iônico e, portanto, potencial iônico dos íons modificadores incorporados na estrutura do vidro. A aplicação de fertilizantes vítreos foi realizada na planta de arroz.

Abstract Glass fertilizers in the phosphate systems were melted at 900-950 °C with a soaking period of 1 h. Leaching study of these glasses with a maximum time period of 300 h was conducted under Soxhlet distillation condition with distilled water. Weight loss and the leach rates of the glass fertilizer samples were calculated from BET surface area measurements. They were in the range of 6.3x10-3 to 2.3x10-3 g.m-2.h-1 at 90 °C. The effect of different modifier ions like Na+, Fe3+, Mg2+, Ca2+, and K+ in the basic phosphate networks on melting and time of melting has been found to be evident. The pH determination ranging from 4.80 up to 7.50 of the leachate solution at ambient temperature under varying time intervals showed interesting and regular variations. The leaching study of such glasses under Soxhlet condition showed Ca2+, Mg2+, and K+ to be good candidates as modifier towards faster leaching. The findings have been corroborated in terms of ionic size, ionic radius, and hence the ionic potential of the modifier ions incorporated into the glass structure. The application of glass fertilizers was made on kharif paddy.

Abstract The problem of oblique scattering of surface water waves by a vertical wall with a gap submerged in infinitely deep water is re-investigated in this paper. It is formulated in terms of two first kind integral equations, one involving the difference of potential across the wetted part of the wall and the other involving the horizontal component of velocity across the gap. The integral equations are solved approximately using one-term Galerkin approximations involving constants multiplied by appropriate weight functions whose forms are dictated by the physics of the problem. This is in contrast with somewhat complicated but known solutions of corresponding deep water integral equations for the case of normal incidence, used earlier in the literature as one-term Galerkin approximation. Ultimately this leads to very closed (numerically) upper and lower bounds of the reflection and transmission coefficients so that their averages produce fairly accurate numerical estimates for these coefficients. Known numerical results for normal incidence and for a narrow gap obtained by other methods in the literatura are recovered, thereby confirming the correctness of the method employed here.

Resumen En este artículo re-investigamos el problema de dispersión oblicua de ondas superficiales de agua por una pared vertical con una abertura sumergida en agua infinitamente profunda. Se formula en términos de dos ecuaciones integrales de primera especie, una involucrando la diferencia de potencial a través de la parte mojada de la pared y la otra involucrando la componente horizontal de la velocidad a través de la apertura. Las ecuaciones integrales son resueltas aproximadamente usando aproximaciones de Galerkin de un término involucrando constantes multiplicadas por funciones peso apropiadas, cuyas formas son dictadas por la física del problema. Esto se contrapone con lo complicado de soluciones conocidas para las correspondientes ecuaciones integrales de agua profunda para el caso de incidencia normal, usadas anteriormente en la literatura como aproximaciones de Galerkin de un término. Últimamente esto lleva a cotas superiores e inferiores muy cercanas (numéricamente) para los coeficientes de reflexión y transmisión de tal suerte que sus promedios producen estimaciones numéricas razonablemente precisas para estos coeficientes. Se recuperan resultados numéricos conocidos en la literatura para la incidencia normal y para una apertura delgada, confirmando que los métodos empleados son correctos.